Para llegar a un correcto desarrollo de la derivada, debemos conocer en primer lugar las líneas notables de una circunferencia, entre ellas; la tangente, recta que determina la nombrada anteriormente.
·DIÁMETRO: Línea que pasa por el centro del circulo de extremo a extremo.
·RADIO: Recta que se prolonga desde el centro de un circulo hasta un extremo de este.
·SECANTE: Recta que corta a la circunferencia en dos puntos.
·TANGENTE: Línea que toca a la circunferencia únicamente en un punto determinado.
La Derivada es la pendiente recta de una tangente que pasa por un solo punto de la circunferencia (no atraviesa al círculo, por lo tanto, no toca a la circunferencia en dos puntos diferentes).
La pendiente se nombra generalmente por la letra m, que esta definida por la variación del eje Y dividido por la diferencia de X, esto es:
Esta variación se da por la resta de las dos coordenadas dadas por los puntos en el eje X(X1, X2), y en el eje Y(Y1, Y2), remplazando en la formula anterior de la siguiente manera:
El ángulo que la resta tiene con relación al eje Y, se relaciona con la Tan, por ello;
La Tan se define como la división entre el Cateto Opuesto sobre el Cateto Adyacente;
Es a partir de las formulas anteriores que surge la formula de derivada, remplazando cada parte que hay en esta por los diferentes valores dados, tanto en el eje Y como en el eje X.
Antes de comenzar a realizar los ejercicios, es bueno conocer la ayuda que nos brinda el triangulo de Pascal, pues debido a la existencia del Binomio de Newton (a + b) ^n la utilidad del triangulo se hace de mayor importancia para poder resolver el binomio correctamente y de una manera muy sencilla.
Con estas variables que son asignadas, las X en dado caso van disminuyendo el valor y las h lo van aumentado, de acuerdo al numero correspondiente, esto es, si el binomio esta elevado a la 5, nos debemos ubicar en el renglón 5...
Así pues, un ejemplo de esto seria el siguiente binomio:
Para desarrollar una derivada a partir del concepto de límites, se deben seguir los siguientes pasos, que después serán representados en ejemplos similares a los del vídeo anteriormente presentado:
1.- Teniendo una función determinada, se remplazan los valores en las variables en este caso f(x+h)-f(x) se sustituirían por lo que indica la función.
2.- Se resuelve lo que está dentro del paréntesis, generalmente es un producto notable.
3.- Se multiplica el factor por el resultado dentro del paréntesis.
4.- Se cancelan los términos semejantes.
5.- Se saca el factor común, que en este caso sería h.
6.- Se cancela si es posible la h del numerador con la del denominador.
7.- Finalmente quito el límite y remplazo por 0 las h que quedaron finalmente.
Ahora afianza tus conocimientos y resuelve los siguientes ejercicios:
REGLAS DE DERIVACIÓN
Son los métodos que se emplean para el cálculo de la derivada de una función. Dependiendo del tipo de función se utiliza distintos métodos.
REGLAS GENERALES
REGLA DEL PRODUCTO
La derivada de la primera por la segunda sin derivar más la primera sin derivar por la derivada de la segunda.
REGLA DEL COCIENTE
La derivada de la primera por la segunda sin derivar menos la primera sin derivar por la derivada de la segunda sobre la segunda sin derivar al cuadrado.
REGLA DE LA CADENA
DERIVADA IMPLÍCITA
Es un expresión en la que hay que derivar dos variables, despejar la derivada de Y y buscar un resultado final.
DERIVACIÓN DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
EJEMPLOS:
EJERCICIOS:
DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR
Dada f como una función , se dice que f ' es la primera derivada de f; puede suceder que esta nueva función sea a su vez derivable, en este caso a la derivada de la primera derivada se le denomina segunda derivada de la función primitiva f. Del mismo modo, la derivada de la segunda derivada se llama tercera derivada de f, y así sucesivamente.
EJEMPLO:
PUNTO MÁXIMO Y MÍNIMO
En la cotidianidad nos encontramos con diversos problemas y por ende nos vemos en la obligación de solucionarlos escogiendo la mejor opción, los puntos máximos y mínimos de una función nos pueden ayudar y al mismo indicar cual puede ser una buena opción.
Entre los valores q puede tener una función (Y) puede haber uno que sea el mas grande y otro que sea el mas pequeño. A estos valores se les llama respectivamente punto máximo y punto mínimo absolutos.
Si una función continua es ascendente en un intervalo y a partir de un punto cualquiera empieza a decrecer, a ese punto se le conoce como punto critico máximo relativo, aunque comúnmente se le llama solo máximo.
Por el contrario, si una funcion continua es decreciente en cierto intervalo hasta un punto en el cual empieza a ascender, a este punto lo llamamos puntro critico minimo relativo, o simplemente mínimo.
RAZÓN DE CAMBIO
Razón de cambio a la manera por la cual una variable cambia con respecto a otra, como por ejemplo la velocidad, la cual es una razón de cambio del espacio con respecto al tiempo (lim dx/dt, cuando t tiende a cero).
OPTIMIZACION
Un problema de optimización trata entonces de tomar una decisión óptima para maximizar (ganancias, velocidad, eficiencia, etc.) o minimizar un criterio determinado (costos, tiempo, riesgo, error, etc).
EJERCICIOS:
Hallar la derivada superior de las próximas funciones.
Realizar los siguientes ejercicios de optimizacion.
1.Un cartel rectangular debe contener 2048 de material impreso con márgenes de 4 cm a los lados y 8 cm en las partes superior e inferior. ¿Qué dimensiones debe tener el cartel para que se gaste menos papel?
2.Angie dispone de suficiente material para construir una cerca de 754 m de largo. Ella desea cercar un lote en forma rectangular. ¿Qué longitud y anchura debe tener el lote para que el área encerrada sea máxima?
Halla el punto máximo y mínimo de las siguientes funciones.
Desarrolla los siguientes ejercicios de razón de cambio.
1. Una piscina tiene 58 p de largo y 26 p de ancho, 8 p de profundidad en el extremo mas hondo y 4 p en el extremo menos profundo, El fondo es rectangular, se esta bombeando agua a razón de 36 p3/min. ¿Con qué rapidez se eleva el nivel del agua cuando tiene: a) 3 p b) 6
2.
Un avión que vuela a velocidad constante de 350 Km/h pasa sobre una estación terrestre de radar a una altura de 3 Km. Y se eleva a un ángulo de 30º. ¿A qué velocidad aumenta la distancia entre el avión y la estación de radar 1 minuto más tarde?
